最近看到一個悖論。

　　這個“悖論”的問題在于，初始公式(1)沒有實數根，但在允許復數的情況下，它有兩個虛數根。

　　說到(5)，大多數人習慣于考慮實數范圍內的問題，認為1的立方根是1，但實際上有兩個1 :的虛立方根。

　　如果你堅持在實數范圍內看問題，那么首字母(1)就不能成立，一個偽先行詞引入任何后續的都是正常的。

　　而如果你允許虛數，那么(6)是錯的，1要相加丟棄，那兩個虛數就是原方程的根。

　　至此，問題似乎已經結束，但是等等，為什么會出現根本的增加？根增長是從哪一步走出來的？

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　　如果你解分數方程，你將把方程的兩邊乘以分母。結果可能會有一個遞增的根，使得分母等于0，但在上面的過程中只出現了分母x，0不是遞增的根。

　　如果解根方程，由于算術根的非負一致，方程兩邊的平方后會有一個額外的根，但是我們這里沒有平方，額外的根1存在于開方之前。

　　我們仔細檢查了它，發現(3)增加了根。

　　還是講道理吧。從(1)到(2)，只要x不為0，就是同一個形變。

　　(3)你是怎么得到的？可以看作公式(2) -(1)，這里出現了根增加。

　　這么簡單的加減法怎么加根？因為你丟失了一些信息。

　　(1)是初始公式，(2)是常數形變(可以檢查x不是0)。

　　(3)是由(1)和(2)共同引入的，所以(3)是(1)和(2)作為一個整體的必要條件。

　　但是(3)你能推導出(1)和(2)嗎？其實不能。雖然已知(3)和(2)可以推導出(1)，而(3)和(1)可以推導出(2)，但是它們不能同時推導出兩者。

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　　拋開原問題，我們再來看一個例子：

　　這次我們不需要除法，我們乘以x得到

　　(q2)公式-a(q1)公式：

　　可以看出，無論什么方程，我們都可以強行引入一個增廣根a .

　　其實我們可以簡單一點。

　　(q1) -(q1) :

　　這就是身份。x成為自由變量，瞬間帶入所有根。但是，因為這個問題太明顯了，在這里大多數人不會感到困惑。

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　　那么用加減消元法求解普通n元線性方程組有漏洞嗎？

　　回顧以上，關鍵在于每一步的推演是否可逆。

　　例如：

　　變成

　　這里a，b，c，d都是常數。

　　顯然，只要b和d不為0，就可逆(無論f，g，h，g，h是線性的還是非線性的，這個基團的取代都是可逆的)。

　　如果你成功了，

　　很難確認。

　　所以一次選兩個方程，保留其中一個，用加減消元后的那個代替另一個是安全的。

　　這樣可以保證每一步都是可逆的，你最后的組解就是原來的組解，沒有增加也沒有損失。

　　在求解線性方程組的實際過程中，我們可以選擇一個變量，這個變量叫做主成分。

　　選擇一個主成分系數不為0的方程并固定(如果所有系數都為0，則為自由變量。)用這個方程和其他方程依次加減消元。

　　這里x是主成分，f在g1中保留和消除，g1可以用f和g線性表示，g可以用f和g1線性表示，h1相似。

　　為了方便，可以暫時忘記f，只考慮：

　　但是記得回來處理f .

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